모르는 것을 안다고 가정하는 순간, 문제의 구조가 손에 잡힌다. 아이들이 수학 문제를 풀다가 멈춰 서는 가장 큰 이유는 ‘모르는 값’이 너무 많아 압도당하기 때문이다. 조건은 복잡하고 구해야 할 수치는 안개 속에 싸여 있을 때, 아이들은 습관적으로 미지수 x, y를 늘려가며 거대한 식의 미로를 만든다. 그리고 자신이 만든 미로 속에서 길을 잃는다. 

하지만 거창한 방정식을 세우기 전에 아주 간단하고 과감한 시도를 해볼 수 있다. “만약 구해야 하는 값을 이렇게 가정하면 문제가 어떻게 바뀔까?" 하고 일단 ‘가정’해 보는 것이다. 가정하는 힘은 수학적 사고의 세 번째 핵심 도구다. 정답이 아닌 의도적인 가짜 값이나 극단적 상황을 설정하면, 문제 뒤에 숨어 있던 복잡한 꼬임이 풀리고 명확한 구조가 눈앞에 드러나기 때문이다. 

[생각해 볼 문제] "닭과 토끼가 합쳐서 10마리 있다. 다리의 수의 합이 총 28개라면, 닭과 토끼는 각각 몇 마리일까?“

이 문제는 초등 심화 과정이나 중등 일차방정식과 연립방정식의 단골손님이다. 보통은 닭의 수를 x, 토끼의 수를 y라 두고 x+y=10, 2x+4y=28이라는 연립방정식을 만들어 풀도록 가르친다. 계산 과정 자체는 어렵지 않지만, 이 풀이법은 아이에게 닭과 토끼 다리의 차이가 전체 다리 수에 어떤 영향을 미치는가에 대한 직관을 주지 못한다.

이제 방정식과 x, y를 완전히 지우고, '가정하는 힘'을 써서 이 문제를 다시 보자. 토끼와 닭의 마릿수를 모르는 상태에서 일단 10마리가 전부 닭이라고 ‘가정’해보는 것이다. 닭의 다리는 2개이므로, 10마리가 모두 닭이라면 다리의 총합은 20개가 되어야 한다. 그런데 문제에서 제시한 실제 다리의 수는 28개다. 

왜 8개의 차이가 발생했을까? 간단하다. 우리가 닭이라고 덮어놓고 가정했던 동물 중에 사실은 다리가 4개인 토끼가 섞여 있었기 때문이다. 닭 한 마리를 토끼 한 마리로 바꿀 때마다 다리는 정확히 2개씩 늘어난다. 실제 다리 수보다 부족한 8개를 채우려면, 닭 4마리를 토끼 4마리로 바꿔야 한다. 따라서 닭은 6마리이고 토끼는 4마리이다. 이런 식으로 정답을 식 한 줄 없이 구할 수 있다.

가정은 단순한 '어림짐작'이 아니다. 실제와 가상의 차이를 이용해 문제의 핵심 작동 원리를 밝혀내는 대단히 정교한 수학적 실험이다. 이처럼 모르는 값을 임의의 쉬운 수나 극단적인 상태로 '가정'하면, 실제 조건과의 '차이(오차)'가 발생한다. 수학적 사고는 바로 이 차이가 왜 일어났는지를 추적하는 과정에서 작동한다. 가정하는 힘은 고난도 수능 문제를 풀 때도 효과적인 생각법이다. 조건이 복잡한 미적분 문제는 그래프의 개형을 가정하고 모순과 오차를 해결하면서 정답에 접근해야 하기 때문이다.

아이가 식을 세우기 어려워하면 이렇게 물어보라. "만약 전부 ~라면 어떻게 될까?", "만약 구하는 값을 ~라고 놓으면 문제가 어떻게 달라질까?" 아이가 정답을 단번에 맞히지 못해도 상관없다. 완벽한 정답을 바로 내놓아야 한다는 부담감에서 벗어나 상상하고 가정해 보는 순간 아이의 뇌는 수식의 노예에서 문제의 설계자로 전환된다. 모르는 것을 두려워하지 않고 가짜 답을 던져 구조를 탐색하는 것이야말로 진짜 수학을 만드는 '가정하는 힘'이다.