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학자들이 수학적으로 완벽하게 담배를 쌓기 위해 노력하는 이유

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무한히 긴 담배 20개비를 모든 담배가 서로 닿도록 배열할 수 있을까? 휘거나 부러뜨리면 안 된다. 담배들이 닿지 않는 불필요한 부분을 잘라내면 유한한 길이의 담배(원한다면 같은 길이) 한 갑을 포장해서 특이한 기념품으로 팔 수도 있겠다.

수학자들과 엔지니어들은 이게 가능한지 진심으로 궁금해 한다. 2년 전 일곱 개의 무한히 긴 담배나 원통이 서로 닿을 수 있다는 게 밝혀져 어느 정도의 진전이 이루어졌다. 이 문제가 처음 제기된 것은 47년 전이다.

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서로 닿아있는 7개의 무한히 긴 원통(보조키Bozóki, 리 & 로니아이, 2013년) 사진: 콤 멀카히

다작했던 영향력 있는 작가 마틴 가드너(1914~2010)가 살아 있었다면 답을 알고 싶어했을 것이다. 그는 101년 전 10월 28일에 오클라호마 주 투슬라에서 태어났다(내 구글 테크 토크 마틴 가드너 101는 그가 남긴 업적들을 다루고 있다). 그는 1930년 스핑크스 잡지에 '색깔 점'이라는 마술 묘기를 기고한 것을 시작으로 80년 동안 글을 발표했다. 1935년에는 '매칙: 성냥으로 할 수 있는 즉흥 트릭 70가지 이상 Match-ic: More than Seventy Impromptu Tricks with Matches'(아일랜드 매직, 1935)을 발표했고, 1935년에서 1949년까지 마술 소책자 7권을 썼다.

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2006년, 휴식을 취하고 있는 마틴 가드너. 책장의 책은 전부 그가 쓴 것이다. 2010년에 사망한 그는 평생 논픽션만 꼽아도 101권을 썼다(사진: 콤 멀카히).

1950년대 중반에는 그는 '수학, 마술, 미스터리'(도버, 1956)를 썼다. 아직도 절판되지 않은 고전이다. 종이, 고무줄, 주사위, 카드 등 평범한 도구들을 사용해 별 손재주 없이도 사람들을 즐겁게 하는 트릭들을 담은 책이다. 1960년대에는 그는 과학과 수학 저널리즘으로 접어들었다. 또한 선구적 합리주의자이자 회의주의자이기도 했으며, 1980년대까지 사이언티픽 아메리칸 지의 컬럼니스트로 인기와 영향력을 누렸다. 그의 베스트셀러 '이상한 나라의 앨리스'는 몇 번이나 다시 출간되었고, 그가 사망하기 5년 전 남긴 메모를 포함한 딜럭스판(The Annotated Alice: 150th Anniversary Deluxe Edition, W.W Norton)이 얼마 전 나왔다.

마틴은 수학을 이용한 놀이로 가장 유명했다. 최근 수학자이자 소설가인 마닐 수리가 뉴욕 타임스에 그에 대한 글을 쓰기도 했다. 미국 공영 라디오 방송의 '수학 남자'인 키스 데블린과 맥아더 상 수상자 페르시 디아코니스 등 유명인들이 마틴의 업적과 스타일, 파급력을 칭송한 바 있다. 그밖에도 존 H. 콘웨이, 루디 러커, 돈 크누스, 아이삭 아시모프가 있었다. 수수께끼를 직접 풀려고 시도해보기 전에 답을 찾기 힘들었던 인터넷 이전 시절, 독자들에게 "아하!"하는 순간을 경험하게 해주는 게 그의 강점이었다.

"구글링은 가드너의 방식이 아니다. 당신을 매혹시켜 직접 답을 찾아내는 기쁨을 경험하게 하는 게 가드너의 방식이다." - 밥 크리스, 피직스 월드 2014년 10월호

사이언티픽 아메리칸 1957년 11월호에서 마틴은 아래와 같은 일러스트레이션을 곁들여 '골프 공 네 개는 서로 모두 닿도록 배열할 수 있다. 50센트 동전 다섯 개는 서로 모두 닿도록 배열할 수 있다.'고 적었다.

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그리고 그는 질문을 던졌다. '담배 여섯 개비를 서로 모두 닿도록 놓을 수 있을까? 담배를 휘거나 부러뜨려서는 안 된다.' (연필, 빨대, 분필 등 다른 원통형 물건을 사용하면 똑 같은 수수께끼를 더 건강하게 할 수 있겠다) 그가 생각한 것은 아래와 같은 답이었다. 이 그림에 등장하는 연필의 단면이 원형이 아니라 육각형이라는 것은 영향을 주지 않는다.

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일부 독자들이 한 걸음 더 나아가 일곱 개의 원통이 서로 모두 닿게 하는 방법을 보내자 그는 놀라며 기뻐했다. 당신은 생각할 수 있는가? 위의 그림과 마찬가지로, 그가 받았던 방법들은 원통이 끝이 있다는 사실을 활용한 것이었다. 하지만 무한한 원통이라면?

1968년, 하디-리틀우드로 유명한 영국의 수학자 J. E. 리틀우드는 무한히 긴 담배 일곱 개비를 서로 모두 닿도록 배열할 수 있는지 질문을 던졌다. 2013년에 산도르 보조키, 층린 리, 라조스 로니아이가 가능하다는 것을 밝혔다! 기술적인 세부 사항은 여기, 수학적 배경은 여기서 볼 수 있다.

2014년 3월, 그들 중 일부가 애틀란타에서 열린 '개더링 포 가드너'(초대 받은 사람만 갈 수 있는, 2년에 한 번씩 열리는 학회. 수학, 마술, 합리주의 등에 마틴이 남긴 업적을 잇는 모임)에 참석해 수학 솜씨, 컴퓨터의 힘, 꼼꼼한 확인을 동원해 발견한 두 가지 해결책의 실제 모델을 보여주었다. 공항 보안 검색에서 불미스러운 일을 겪지 않도록 원통의 길이는 짧게 했다. 밝은 색깔의 분필을 모아둔 것 같은 모양이었다. 그 중 하나는 위에 사진이 있고, 또 하나는 이것이다.

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서로 모두 닿아 있는 무한히 긴 담배 일곱 개비의 다른 모형(보조키, 리, 로니아이, 2013) 사진: 콤 멀카히

이제 무한히 긴 담배 여덟 개비를 서로 모두 닿게 할 수 있는지 물어 볼 차례다. 아직은 아무도 모른다. 우리가 확실히 알고 있는 사실은 2005년에 A. 베즈덱이 밝힌 대로 24개비가 넘으면 불가능하다는 사실뿐이다!

그래서 현재 우리는 담배 끝부분을 이용하지 않고 20개비 전체가 서로 모두 닿아 있는 특별 제작 담배갑이 나올 가능성은 배제할 수 없다. 25개비짜리 갑은 배제할 수 있다. 사실 서로 모두 닿아 있는 8개비짜리 갑만 나와도 신날 것이다. 엔지니어링에 반영할 요소도 분명 있을 것이다.

수학적으로 최적화된 이러한 담배갑이 어떤 형태인지 우리는 아직 모른다. 즉 얼마나 많은 무한히 긴 원통이 서로 모두 닿을 수 있는지 모른다. 여덟, 아홉, 혹시 더 많이도 가능할까? 아니면 위에 있는 것과 같은 일곱 개비짜리로 만족해야 하나? 결론을 내리기엔 아직 이른 것 같다. 지금은 이 문제의 답이 없는 것 같다.

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"내가 보기에 학생과 비전문가들에게 수학을 흥미롭게 만드는 방법은 언제나 놀이하는 마음으로 접근하는 것이다." - 마틴 가드너

이것은 마틴이 방대한 독자들에게 처음으로 소개한 오래된 문제들을 풀거나 확장해서 계속해서 한계를 넘는 사람들의 일부에 불과하다. 그가 사이언티픽 아메리칸에서 전성기를 누릴 때는 매달 독자가 1백만 명이었다고 한다. 올해 여름에 워싱턴 보셀 대학교의 팀이 무한히 넓은 공간을 덮을 수 있는 새로운 오각형을 발견한 것이 다른 예다. 허핑턴 포스트에서도 소개한 바 있다.

서로 모두 닿아 있는 원통 일곱 개의 사진을 다시 한 번 보라. 누가 상자에 손을 넣어서 분필 일곱 개를 그러쥔 모습 같지 않은가? 20세기에 누군가가, 어쩌면 어떤 어린 아이가, 연필이나 빨대를 저렇게 쥐었지만 이게 어떤 의미인지를 모른 일이 있지 않았을까? 한 손에 여덟 개 이상의 원통을 쥐었는데 모두 서로 닿았던 일도 있었을 법하다. 아무도 알아차리지 못했지만 말이다. 수학은 사람을 달에 보내고 이 디지털 시대에 우리 모두를 연결해주는데, 훨씬 간단해 보이는 이 문제를 해결할 수 없다니 놀랍다.

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2014년 뉴욕 수학 박물관 모매스에서 열린 셀러브레이션 오브 마인드.

재미를 추구하고 탐구하는 마틴 가드너의 철학에 관심이 있는 사람들은 이 무렵 열리는 셀러브레이션 오브 마인드에 관심을 가져 봐도 좋겠다. 2분짜리 영상이 여기 있다.

매년 10월 말경에 열리는 행사이다. 2015년도 아직 가능하지만, 올해는 안 되더라도 내년이나 다른 해에 참석해봐도 좋겠다. 당신만의 "아하!"하는 순간을 느끼기에 이보다 더 좋은 환경은 없으니 말이다.

저자인 콤 멀카히는 조지아 주 애틀란타 스펠먼 대학의 수학 교수다. 그는 마틴 가드너 센테니얼 위원회의 회장이다. 트위터는 @CardColm 이다. 그는 가드너 팬들이라면 마틴 가드너 관련 트위터 피드 3개를 팔로우하라고 권한다.

*본 기사는 허핑턴포스트 US의 'The Search for the Mathematically Optimal Pack of Cigarettes'을 번역 편집한 것입니다.